lunes, 12 de septiembre de 2016

LA ECUACIÓN MAESTRA DE LA FÍSICA



La física que conocemos puede sintetizarse de manera asombrosa en una ecuación "maestra". Se trata de una densidad Lagrangiana o "Lagrangiana". A partir de esta Lagrangiana y aplicando el cálculo de variaciones mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden obtenerse las ecuaciones del movimiento para cada situación física concreta.



Lagrangiana del Modelo Estándar



Ecuacion del Modelo Estandar de Particulas
Lagrangiana completa del Modelo Estándar de Partículas donde h.c. quiere decir hermítico conjugado.


Esta ecuación "maestra" constituye el núcleo del Modelo Estándar y especifica las reglas según las cuales interactúan entre sí dos partículas cualesquiera en cualquier lugar del Universo, salvo las de la gravedad.

La ecuación maestra muestra una gran elegancia y sencillez y una gran belleza subyacente. Además especifica las propiedades de las tres fuerzas con todo detalle, con precisión matemática y sin ambigüedad ni redundancia. Estaría compuesta por 4 partes: 


LTotal=LMateria+LGauge+LYukawa+LHiggs


La primera línea es la lagrangiana de Dirac a partir de la que se obtiene la Ecuación de Dirac, que es el punto de partida de las Teorías Cuánticas de Campos en general y de la Electrodinámica Cuántica en particular.


Ecuacion de Dirac
Ecuación de Dirac inscrita en el sepulcro del gran físico Paul Dirac



La segunda línea nos dice como interactúa el fotón (y el bosón gauge débil Z°) con la materia (primer término donde la letra griega psi indica una partícula de materia) y consigo mismo (segundo término).



Ecuacion del Modelo Estandar de Particulas
Las dos primeras líneas de la Ecuación Maestra son muy parecidas a la lagrangiana de la Electrodinámica Cuántica. La diferencia está en el tensor B que aquí incorpora el bosón gauge débil Zº.


Estas dos primeras líneas son muy parecidas a la lagrangiana de la Electrodinámica Cuántica, teoría que explica cómo interaccionan la luz y la materia y que modifican ligeramente las Ecuaciones de Maxwell para dar cuenta de efectos sutiles.



Lagrangiana de la Electrodinamica Cuantica
Lagrangiana de la Electrodinámica Cuántica, la teoría que describe como interacciona la luz con la materia. M es la masa del electrón, A es el potencial vector del electromagnetismo y F es el tensor electromagnético




Diagrama de Feynman
Los diagramas de Feynman son la herramienta principal de la Electrodinámica Cuántica. Su uso facilita enormemente los cálculos. En este caso un positrón y un electrón se aniquilan mutuamente en un fotón que luego se divide nuevamente en un positrón y un electrón.



Salvo la gravedad, en estas dos primeras líneas están todas las leyes fundamentales de la física que conocemos, como las Ecuaciones de Maxwell o la Teoría de la Relatividad Especial de Einstein.

La tercera línea nos dice como interactúan los bosones gauge débiles (W+, W- y el fotón) con la materia (primer término) y consigo mismos (segundo término). Estas tres primeras líneas constituyen la lagrangiana de la Teoría Electrodébil, que unifica el electromagnetismo con la fuerza nuclear débil.



Lagrangiana del Modelo Estandar
Línea de la Ecuación Maestra que indica la interacción de los bosones gauge débiles con la materia y consigo mismos



La cuarta línea nos dice como interactúan los gluones con los quarks (primer término) y consigo mismos (segundo término). Esta cuarta línea constituye la lagrangiana de la Cromodinámica Cuántica, que es la Teoría Cuántica de Campos que describe la fuerza nuclear fuerte.



Lagrangiana del Modelo Estandar
Línea de la Ecuación Maestra que indica la interacción de los gluones con los quarks y consigo mismos



Los primeros términos de las segunda, tercera y cuarta líneas contienen además la energía cinética de las partículas de materia. Además estas 3 líneas serían la parte LGauge.

El primer término de la quinta línea indica la generación de masa de las partículas elementales (LYukawa) y la última línea indica la generación de masa de los bosones gauge débiles W+, W- y Z° (LHiggs). En esta última línea la letra griega phi indica el campo de Higgs.



Ecuacion del Modelo Estandar
Parte de la ecuación maestra que describe la generación de masa de las partículas elementales y de los bosones gauge débiles



La Simetría como Origen de la Ecuación Maestra




Para llegar a la ecuación maestra los artífices del Modelo Estándar impusieron condiciones de simetría. Intuyeron que la naturaleza es simétrica.

Si manipulamos una ecuación mediante una transformación concreta y esta no varía, entonces dicha transformación se corresponde con una simetría.

Existen simetrías del espacio-tiempo como el principio de relatividad, la traslación en el tiempo, la traslación en el espacio o la rotación espacial. Estas simetrías anteriores son también globales. Pero también existen simetrías internas (locales) que cumplen los campos. 

Una de ellas es la simetría gauge, consistente en variar la fase del campo en cada punto de manera independiente. Para que la ecuación resultante no varíe se añade un campo que se transforme de la manera apropiada para que la ecuación se mantenga invariable. Ese campo añadido es el correspondiente a la partícula portadora de la interacción. Por ejemplo, en el caso del fotón sería el campo electromagnético, que aparece al imponer la simetría gauge a la ecuación de Dirac.

Por ejemplo, partimos de la ecuación de Dirac para una partícula libre (sin interacciones). Es decir, la primera línea de la ecuación maestra. Si ahora imponemos la simetría gauge, nos aparecen gratis la segunda, la tercera y la cuarta líneas. La simetría gauge hace aparecer las tres interacciones y sus partículas mediadoras.


Ecuacion de Dirac
Ecuación de Dirac que se obtiene de la lagrangiana de Dirac (la primera línea de la Ecuación Maestra). Las constantes de Planck y de la velocidad de la luz se han igualado a la unidad



Pero no solo eso. La simetría gauge hace que no tengamos más que la opción de la ecuación maestra. Nos conduce inexorablemente hacia ella.

Pero la simetría gauge exige que ninguna de las partículas del Modelo Estándar tenga masa, lo cual es erróneo, pues implicaría que todas las partículas se moverían a la velocidad de la luz. Tampoco podemos renunciar a las simetrías que tan elegantemente y correctamente hacen aparecer las tres interacciones. Es más, sin ella la teoría carece de sentido.

La solución está en las dos últimas líneas de la ecuación maestra que describen el Mecanismo de Higgs. Las masas se generan como consecuencia de la interacción de las partículas con el Campo de Higgs.


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